Soal Pengujian Hipotesis

Berikut adalah contoh soal dari pengujian hipotesis. Contoh soal ini diambil dari buku “Pengantar Statistika” oleh Ronald E. Walpole.

    A.  UJI HIPOTESIS MENGENAI NILAI MEAN

1.      Contoh satu populasi

Contoh 1.

Perusahaan alat olahraga mengembangkan jenis barang pancing sintetik yang diklaim mempunyai rata-rata kekuatan 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Telah diketahui bahwa dengan sampel 50 pancing sintetik rata-rata kekuatannya adalah 7,8 kg. Dengan taraf signifikasi sebesar 0,01, Ujilah hipotesis bahwa rata-rata populasinya tidak sama dengan 8 kg ?

Langkah-langkah menjawab soal diatas adalah sebagai berikut.

a)      Hipotesis dari soal diatas adalah

H₀ : µ = 8 kg

H₁ : µ ≠ 8 kg

b)      Telah diketahui bahwa taraf signifikasinya (α) = 0,01

c)      Karena uji hipotesisnya adalah two-tiled (Dua-arah) dan α = 0,01 maka daerah kritik dari permasalahan ini adalah z < -2,57 dan z > 2,57 (cara mendapat nilai kritik ini adalah dengan melihat tabel disribusi normal dimana z_α/2 = z_0,01/2 = z_0,005 = -2,57 ).

d)     Perhitungan

           Dengan n = 50, simpangan baku=0,5, dan rata-rata populasi 8 kg, sehingga rumus yang digunakan adalah   

e)      Keputusan

Keputusan yang dapat diambil adalah H₀ ditolak karena z_hitung berada dalam rentang daerah kritiknya yaitu z < -2,57 (-2,83 < -2,57) sehingga kesimpulan yang dapat diambil adalah rata-rata populasi yang sebenarnya tidak sama dengan 8. 

Contoh 2.

Suatu sampel acak 100 catatan kematian di US selama tahun yang lalu menunjukkan umur rata-rata 71,8 tahun dengan simpangan baku 8,9 tahun. Dengan taraf signifikasi 0,05 , ujilah hipotesis bahwa rata-rata umur sekarang ini lebih dari 70 tahun ?

 Langkah-langkah menjawab soal diatas adalah sebagai berikut.

a)      Hipotesis dari soal diatas adalah

H₀ : µ = 70 tahun

H₁ : µ > 70 tahun

b)      Telah diketahui bahwa taraf signifikasinya (α) = 0,05

c)      Karena uji hipotesisnya adalah one-tiled (satu-arah) dan α = 0,05 maka daerah kritik dari permasalahan ini adalah z > 1,64 (cara mendapat nilai kritik ini adalah dengan melihat tabel disribusi normal dimana z_α = z_0,05 =-1,64 ).

d)     Perhitungan

Dengan n = 100, simpangan baku=8,9, dan rata-rata populasi 71,8 tahun, sehingga rumus yang digunakan adalah

e)      Keputusan

Keputusan yang dapat diambil adalah H₀ ditolak karena z_hitung berada dalam rentang daerah kritiknya sebesar z > 1,64 (2,02 > 1,64) sehingga kesimpulan yang dapat diambil adalah rata-rata populasi umur sekarang ini adalah lebih dari 70 tahun. 

Contoh 3.

Waktu rata-rata yang diperlukan per mahasiswa untuk mendaftarkan diri pada semester ganjil disuatu perguruan tinggi adalah 50 menit dengan simpangan baku 10 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan mesin modern sedang dicoba. Dengan mesin modern tersebut diketahui bahwa 12 mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 42 menit dengan simpangan baku 11,9 menit. Dengan taraf keyakinan sebesar 0,05 , ujilah hipotesis bahwa nilai rata-rata populasi mesin modern kurang dari 50 ? Asumsikan bahw populasi waktu berdistribusi normal.

Langkah-langkah menjawab soal diatas adalah sebagai berikut.

a)      Hipotesis dari soal diatas adalah

H₀ : µ = 50 menit

H₁ : µ < 50 menit

b)      Telah diketahui bahwa taraf signifikasinya (α) = 0,05

c)      Karena uji hipotesisnya adalah one-tiled (satu-arah), α = 0,05 dan n < 30 maka daerah kritik dari permasalahan ini menggunakan uji t . degree of freedom (df) adalah n-1 yaitu 11 maka t = 1,796, sehingga daerah kritik dari permasalahan tersebut adalah t < -1,796.

d)     Perhitungan

Dengan n =12, simpangan baku=11,9, dan rata-rata populasi 50 menit, sehingga rumus yang digunakan  

e)      Keputusan

Keputusan yang dapat diambil adalah H₀ ditolak karena t_hitung berada dalam rentang daerah kritiknya sebesar t < -1,796 (-2,33 < -1,796) sehingga kesimpulan yang dapat diambil adalah rata-rata populasi mesin modern adalah kurang dari 50 menit.

2.      Contoh dua populasi

Sebuah pelajaran matematika diberikan pada 12 siswa dengan metode pengajaran yang biasa. Kelas lain yang terdiri dari 10 siswa diberikan pelajaran yang sama tetapi dengan metode yang menggunakan bahan yang telah diprogramkan. Pada akhir semester murid kedua kelas itu diberikan ujian yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, sedangkan kelas yang menggunakan bahan yang terpogramkan memperoleh nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5. Dengan taraf signifikasi 0,1 , ujilah hipotesis bahwa tidak ada perbedaan antara kedua metode pengajaran. Asumsikan bahwa kedua populasi berdistribusi normal dengan varians yang sama.  

Langkah-langkah menjawab soal diatas adalah sebagai berikut.

a)     Misal µ₁ dan µ₂ adalah rata-rata nilai semua siswa yang mungkin mengambil pelajaran tersebut dengan kedua metode pengajaran. Maka hipotesisnya adalah

H₀ : µ₁ = µ₂

H₁ : µ₁ ≠ µ₂  

b)      Telah diketahui bahwa taraf signifikasinya (α) = 0,1

c)      Karena uji hipotesisnya adalah two-tiled (dua-arah), α = 0,1 dan n < 30 maka daerah kritik dari permasalahan ini menggunakan uji t . degree of freedom (df) adalah n₁+ n₂-2 yaitu 20 maka t = 1,725, sehingga daerah kritik dari permasalahan tersebut adalah t < -1,725 dan t > 1,725.

d)     Perhitungan

Dengan n₁=12, n₂=10, s₁=4, s₂=5, rata-rata populasi ke-1 adalah 85, dan rata-rata populasi ke-2 adalah 81 sehingga rumus yang digunakan adalah

e)   keputusan 

Keputusan yang dapat diambil adalah H₀ ditolak karena t_hitung berada dalam rentang daerah kritiknya sebesar t > 1,725 (2,07 > 1,725) sehingga kesimpulan yang dapat diambil adalah ada perbedaan antara metode mengajar biasa dan metode mengajar dengan bahan terprogramkan dimana metode biasa lebih baik dibandingkan metode dengan bahan terprogramkan.   .

B.    UJI HIPOTESIS MENGENAI NILAI VARIANS

1.      Contoh satu populasi

Sebuah perusahaan Aki Mobil mengklaim bahwa umur Aki yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila sampel acak dari 10 aki menghasilkan simpangan baku s sebesar 1,2 tahun. Dengan taraf signifikasi 0,05, apakah menuut anda simpangan baku lebih dari 0,9 ?

Langkah-langkah menjawab soal diatas adalah sebagai berikut.

a)      Hipotesis dari soal diatas adalah

H₀ : σ² = 0,81

H₁ : σ² > 0,81

b)      Telah diketahui bahwa taraf signifikasinya (α) = 0,05

c)      Karena uji hipotesisnya adalah one-tiled (satu-arah), α = 0,05 dan n < 30 maka daerah kritik dari permasalahan ini menggunakan uji chi-square (karena menguji nilai varians). degree of freedom (df) adalah n-1 yaitu 9 maka nilai χ² = 16,919, sehingga daerah kritik dari permasalahan tersebut adalah χ² > 16,919.

d)     Perhitungan

Dengan n =10, simpangan baku (s) =1,2, sehingga rumus yang digunakan

e)   Keputusan 

           Keputusan yang dapat diambil adalah H₀ gagal ditolak karena χ²_hitung tidak berada dalam rentang daerah kritiknya sebesar χ² > 16,919 dimana 16 < 16,919 sehingga kesimpulan yang dapat diambil adalah simpangan bakunya sama dengan 0,9. 

      2.      Contoh dua populasi

            Ketika menguji kesaman dua nilai rata-rata populasi dalam “contoh dua populasi”, kita mengasumsikan varians kedua populasinya sama tetapi nilainya tidak diketahui. Cukupkah beralasankah asumsi yang kita buat ini ? Gunakanlah taraf signifikasi 0,1.    

       Langkah-langkah menjawab soal diatas adalah sebagai berikut.

a)      Hipotesis dari permalahan diatas adalah

H₀ : σ²₁ = σ²₂

H₁ : σ²₁ ≠ σ²₂

b)      Telah diketahui bahwa taraf signifikasinya (α) = 0,1

c)      Karena uji hipotesisnya adalah two-tiled (dua-arah), α = 0,1 dan n < 30 maka daerah kritik dari permasalahan ini menggunakan uji f . degree of freedom (df) adalah n₁-1 dan n₂-1 yaitu 11 dan 9 maka f_0,05(11, 9) = 3,11 dan  f_0,95(11, 9)=0,34, sehingga daerah kritik dari permasalahan tersebut adalah f < 0,34 dan f > 3,11.

d)     Perhitungan

Dengan s₁=4 dan s₂=5, sehingga rumus yang digunakan adalah

e)   Keputusan

Keputusan yang dapat diambil adalah H₀ gagal ditolak karena f_hitung tidak berada dalam rentang daerah kritiknya sebesar f < 0,34 (0,64 >0,34) sehingga kesimpulan yang dapat diambil adalah kita cukup beralasan ketika mengasumsikan bahwa kedua varians populasi sama.  

C.    UJI HIPOTESIS MENGENAI NILAI PROPORSI

1.      Contoh satu populasi

Seorang pemborong menyatakan bahwa 70% rumah-rumah yang baru dibangun di kota Richmond dipasang suatu alat pemompa udara panas. Apakah anda setuju dengan pernyataan tersebut bila diantara 15 rumah baru yang diambil secara acak terdapat 8 rumah yang menggunakan pompa udara panas ? Gunakan taraf signifikasi 0,1.  

Langkah-langkah menjawab soal diatas adalah sebagai berikut.

a)      Hipotesis dari permalahan diatas adalah

H₀ : p = 0,7

H₁ : p ≠ 0,7

b)      Telah diketahui bahwa taraf signifikasinya (α) = 0,1

c)      Karena uji hipotesisnya adalah two-tiled (dua-arah), α = 0,1 dan n < 30 maka daerah kritik dari permasalahan ini menggunakan uji binomial. Dengan p=0.7 maka daerah kritiknya adalah x ≤ 7 dan x ≥ 14 (nilai daerah kritik dapat dilihat pada tabel distribusi binomial)

d)     Perhitungan

x_hitung = 8

e)   Keputusan 

      Keputusan yang dapat diambil adalah H₀ gagal ditolak karena x_hitung tidak berada dalam rentang daerah kritiknya sebesar x ≤ 7 (8  ≥ 7) sehingga kesimpulan yang dapat diambil adalah tidak ada alasan yang kuat untuk meragukan pernyataan pemborong diatas.

       2.      Contoh dua populasi

Suatu pemungutan suara hendak dilakukan diantara penduduk suatu kota dan sekitarnya untuk mengetahui pendapat mereka mengenai rencana pendirian sebuah gedung pertemuan serba guna. Lokasi gedung yang akan dibangun itu di dalam kota, sehingga para penduduk yang tinggal di sekitar merasa bahwa rencana itu akan lolos karena besarnya proporsi penduduk kota yang menyetujuinya. Untuk mengetahui apakah ada selisih yang nyata antara proporsi penduduk kota dan penduduk sekitar kota itu yang menyetujui rencana tersebut, diambil suatu sampel acak. Bila ternyata 120 di antara 200 penduduk kota dan 240 diantara 500 penduduk sekitar kota yang menyetujui rencana tersebut, apakah anda setuju bila dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih tinggi daripada proporsi penduduk sekitar kota yang menyetujui rencana tersebut ? Gunakan taraf signifikasi 0,025.

Langkah-langkah menjawab soal diatas adalah sebagai berikut.

a)      Misal p₁ dan p₂ adalah proporsi sebenarnya penduduk kota dan sekitar kota yang menyetujui rencana tersebut. Maka hipotesisnya adalah

H₀ : p₁ = p₂

H₁ : p₁ > p₂  

b)      Telah diketahui bahwa taraf signifikasinya (α) = 0,025

c)      Karena uji hipotesisnya adalah one-tiled (satu-arah), α = 0,025 dan n > 30 maka daerah kritik dari permasalahan ini menggunakan uji z maka z = 1,96, sehingga daerah kritik dari permasalahan tersebut adalah z > 1,96.

d)     Perhitungan

Dengan n₁=200, n₂=500, x₁=120, x₂=240, rata-rata populasi ke-1 adalah 85, dan rata-rata populasi ke-2 adalah 81 sehingga rumus yang digunakan adalah

e)   Keputusan 

      Keputusan yang dapat diambil adalah H₀ ditolak karena z_hitung berada dalam rentang daerah kritiknya sebesar z > 1,96 (2,9 > 1,96) sehingga kesimpulan yang dapat diambil adalah proporsi penduduk kota yang menyetujui rencana itu lebih besar dibandingkan proporsi penduduk sekitar kota yang menyetujui rencana tersebut